전체 글 (49) 썸네일형 리스트형 F분포 I. F분포F분포는 두정규모집단의 분산의 비교에 대한 추론에 주로 사용되는 분포입니다. 바로 F분포의 정의에 대해 알아봅시다.\( V_1\) 과 \( V_2\) 를 각각 자유도 \( k_1 \), ( k_2 \) 인 카이제곱분포를 따르는 서로 독립인 확률변수들이라 할 때, \[ \text{F} = \frac{ V_1 / K_1 }{ V_2 / K_2 } \]인 분포를 자유도 \( (k_1, k_2) \) 인 F분포라 합니다, 기호는 아래와 같이 나타냅니다 .\[ \text{F} \sim \text{F}(k_1, k_2) \] F분포는 각 표본의카이제곱분포를 자유도로 나눈 값의 비율로 정의됩니다. 카이제곱분포를 자유도로 나누는 것은 표준화를 위함입니다. 카이제곱분포는 자유도에 따라크기가 달라집니다. 카이.. 카이제곱분포 I. 카이제곱분포 정규분포 \( N(\mu, \sigma^{2}) \) 으로 부터 확률표본 \( X_{1} \), \( X_{2} \), ... , \( X_{n} \) 이라 할 때, 표본 분산 \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i - \overline{X} \right)^2 \] 에 대한 표본분포는 모분산을 추정하는데 매우유용하게 사용됩니다. 이 때 표본분산 \( S^{2} \) 와 관련된 분포로 카이제곱분포 (chi-square distribution)이 있습니다. 카이제곱분포는 정규분포를 따르는 여러 데이터를 한꺼번에 취급할 수 있어, 분산분석에 이용할 수 있습니다. 카이제곱분포의 정리 : 확률변수 \( Z_{1} \), \( Z_{2} \), .... 표본분포 I. 확률표본어떤 전구 회사에서 전구를 무한히 많이 생산한다면, 전구 수명에 대한 분포를 상상해 볼 수 있습니다. 그리고 만약 100개의 전구를 표본으로 택하여 수명 시간 \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_{100} \) 을 기록한다면, 이 수명 시간은 실제수명 분포에 따라 그 빈도가 결정될 것입니다. 그리고 이 100개의 값이 어떻게 나타날 것인지는 서로 영향을 주지 않기 떄문에 독립입니다.이 처럼 서로 독립이고, 동일한 분포를 따르는 확률변수를 확률표본 (sample distribution) 이라고 합니다. II. 표본분포확률표본의 통계량의 확률분포를 표본분포라고 합니다. 이 말을 조금 더 자세하게 정리해 보겠습니다. 먼저 확률표본의 통계량에 대해 알아봅시다. 통계량은 모집단의 .. 정규 분포 I. 정규 분포 (Normal Dsitribution)정규분포는 평균값을 중심으로 대칭을 이루는 종 모양의 분포입니다. 검정 등에서는 정규분포가 전제되는 일이 많으며, 통계학을 배우는데 있어서 가장 중요한 분포 중 하나입니다. Gauss는각종 물리학 실험을 수행할 때 수반되는 계측 오차에 대한 확률 분포로서, 오늘날 가우스 분포 (Gauss distribution) 이라 불리는 연속확률분포를 제시하였습니다. 그 후로 이 분포는 물리학 뿐만 아니라 다른 학문에서도 널리 사용되었는데, 통계학의 초기 단계에서는 모든 자료의 그래프가 이 분포와 가까운 형태이어야만 옳고, 그렇지 않은 경우에는 자료 수집 과정에 잘못이있다고 생각하였습니다. 이러한 이유로 정규(normal) 이라는 이름이 붙게 되었지만, 물론 이는.. 포아송 분포 포아송 분포는 간단히 말하면 시행 횟수가 아주 많고, 사건의 발생 확률이 매우 작을떄의 이항분포입니다. 특히 단위 시간이나 단위 공간에서 희귀하게 일어나는 사건의 횟수 등에 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어 어느 교차로에서 교통 사고가 일어나는 수, 어느 지역에 벼락이 떨어지는 수, 타이핑된 보고서의 페이지당 오자의 수 등입니다. 앞서 포아송 분포는 특정 조건에서의 이항 분포라고 하였습니다. 그럼 이항 분포로부터 포아송 분포를 유도해 보도록 합시다. 먼저 이항 분포는 \( B(n,p)\) 이고, 평균은 \( np=m \) 으로 정의 합시다. 그럼 아래와 같이 식을 유도할 수 있습니다. \begin{aligned} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} &= \frac{1}{x!.. 이항 분포 I. 베르누이 시행 (Bernoulli Trial) 베르누이 시행이란 성공이나 실패처럼 결과가 두 종류 밖에 없는 시행을 말합니다. 예를 들어 동전 던지기는 앞면 혹은 뒷면의 2가지 종류만 존재하며, 제품을 뽑아서 평가하는 실험 역시 그 결과를 합격과 불합격 두 종류만 존재하도록 설계할 수 있습니다. 일상 생활에서 베르누이 시행은 독립적으로 반복되는 실험에서 접할 수 있습니다. 여기서 독립적이라 하는 것은 매 시행이 서로 영향을 주지 않는다는 것을 의미하며, 반복된다는 것은 매 시행의 확률이 일정함을 의미합니다. 따라서 베르누이시행의 특성은 다음과 같이 정리할 수 있습니다. \[\text{Sample Space : } \quad S= \{0, 1\} \]\[P(X=1)=p,\, P(X=0)=q \, \.. 균일 분포 균일 분포는각 사상이 일어나는 확률이 같은 분포를 말합니다. 예를 들어 정교하게 잘 만들어진 주사위를 던져 각 눈이 나올 확률, 면적이 균일하게 나뉜 다트게임에서 각 번호가 적중할 확률 등입니다. 균일 분포는 각 사상이 연속적인지 불연속적인지에 따라 이산균일분포, 연속균일분포로 나뉘어집니다. 확률변수가 1,2,3,.. 과 같이 이산적인 값을 취하는 경우 입니다. 만약 확률분포 X가 {1, 2, ... n } 의 값을 취한다고 하면, 확률분포표는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. xP(x)xP(x)11/n1/n21/n2/n.......n1/n1/n \begin{align*} \text{E}(X) &= \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \cdots + \frac{n}{n} \\[8pt]&.. 초기하 분포 I. 초기하분포1. 단순랜덤추출크기가 N인 유한모집단에서 크기 n의 표본을 비복원으로 뽑는 경우에 대해 생각해봅시다. 비복원이란 이미 뽑은 샘플을 모집단으로 돌려보내지 않은 상태에서 다음 시행을 진행한다는 뜻입니다. 이러한 경우에 표본을 뽑을 수 있는 방법은 모두 \( \bigl(\begin{smallmatrix} N \\ n \end{smallmatrix}\bigr)\) 가지 입니다. 이 경우의 수가 동일한 확률로 뽑힐 수있도록 표본을 추출하는 방법을 유한모집단에서의 단순랜덤추출 또는 단순임의 추출 (simple random sampling) 이라고 합니다. 예를 들어 크기가 4인 유한한 모집단 {A, B, C D}에서 크기 2인 표본을 단순랜덤추출할 때 뽑힐 수 있는 표본의 결과와, 각 표본의 확.. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
